COUPLES DE VARIABLES ALÉATOIRES QUANTITATIVES

COUPLES DE VARIABLES ALEATOIRES QUANTITATIVES CONTINUES

LOI BINORMALE

Un couple (X, Y) de v.a. continues X et Y est une fonction qui, à chaque u.s. de la population P associe deux nombres réels x et y. Chaque variable X ou Y est appelée variable marginale et sa loi de probabilité, notée f_X(x) ou f_Y(y), loi de probabilité marginale.

Un exemple classique de couple de v.a. quantitatives est celui de la loi binormale.

On introduit la densité du couple de la même façon que la densité d’une v.a. continue : on définit sur les ensembles de valeurs possibles de X et Y des intervalles I₁, I₂, ..., I_i, .., I_p et J₁, J₂, ..., J_j, .., J_q.

Pour une population de taille n, on en déduit les effectifs n_1,1, n_1,2, ..., n_i,j, ..., n_p,q. La densité par classe est définie par :

	n_i,j/n
d_i,j =	^{______________}
	l(I_i) x l(J_j)

expression dans laquelle l(I_i) et l(I_j) sont respectivement les longueurs des intervalles I_i et J_j.

Lorsque les intervalles deviennent de plus en plus petits autour de leurs centres x et y, et que le nombre d’observations tend vers l’infini, on obtient une fonction f(x,y) telle que :

		P( x <X < x + dx, y <Y < y + dy)
f(x,y) =	lim	^{_________________________________________}
	dx®0 dy®0	dx dy

=	P(x <X < x + dx, y <Y < y + dy)
=	f(x,y) dx dy

Définition : on appelle densité du couple (X, Y) la fonction f(x,y) vers laquelle convergent les densités par classes d_i,j lorsque le nombre d’u.s. augmente indéfiniment et que les classes deviennent de plus en plus petites.

Définition : on appelle covariance du couple (X, Y) le paramètre défini par :

On retrouve la définition proposée dans le cas des v.a. discrètes.

La densité la plus connue est la loi binormale, nécessaire pour effectuer un test sur le coefficient de corrélation de X et de Y (cf. chapitre 6) :

Définition : soient X et Y deux variables centrées réduites. Le couple (X,Y) suit la loi binormale si sa densité est de la forme :

		1	– ½ [ x² + y² –2 r x y ]
f(x,y)	=	^{_______________}	e
		2 p [1 – r²]^½

expression dans laquelle le paramètre r est compris strictement entre –1 et 1. Ce paramètre est la covariance des variables X et Y, ici le coefficient de corrélation linéaire puisque X et Y sont centrées réduites.

La loi binormale est très utilisée en statistique mathématique pour effectuer des tests statistiques. Une propriété particulière de cette loi de probabilité est que l’espérance conditionnelle E(Y /X = x) est une fonction linéaire en x de la forme y = b x + a . Cette propriété signifie que la liaison entre deux variables X et Y telles que le couple (X, Y) suive la loi binormale ne peut être que linéaire. On retrouve ici le modèle linéaire introduit adans le chapitre 7. Cette propriété se généralise au cas de la loi multinormale et du modèle multilinéaire.